Question

设f（x）=mx²+（3-m）x-4（m∈R）
（1）若f（x）的极值点在y轴上，求m的值；
（2）求关于x的方程f（x）=0有正根的充要条件．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）先求解导数，然后，利用x=0是该方程的根，建立等式进行求解；
（2）根据一元二次方程有正实根的条件建立不等式组，求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）的极值点在y轴上，
f′（x）=2mx+（3-m）=0，x=0是该方程的根，
∴m=3，
（2）∵mx²+（3-m）x-4=0有正根，
∴当m=0时，此时x=

4

3

，符合题意，
当m≠0时，若方程有两个正实根，
此时满足：

△≥0 x1+x2＞0 x1•x2＞0

，
∴m≤-9，
若方程有一个正实根，一个负实根时，
则

△＞0 x1•x2＜0

，
∴

(m-3)2+16m＞0 - 4 m ＜0

，
∴

m＜-9或m＞-1 m＞0

，
∴m＞0，
综上，m≤-9或m＞0
∴m∈（-∞，-9]∪（0，+∞）．

点评：本题重点考查了二次函数的极值点问题，二次方程的根与系数的关系等知识，属于中档题，注意问题的等价转化．