Question

已知数列{a_n}满足1=a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，数列{b_n}满足b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

），S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：
（1）对于n∈N^*，0≤S_n＜2；
（2）对于任意c∈[0，2），存在数列{a_n}使关于n的不等式S_n＞c有无数个解．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

）通分，放大后裂项，求和后结合已知得答案；
（2）由（1）化简数列{b_n}的通项公式，由

bn

bn+1

得到使数列为递减数列的条件2a_n+1＞a_n+a_n+2，取n倍的b_n等于c，即可说明存在数列{a_n}满足2a_n+1＞a_n+a_n+2，使得
关于n的不等式S_n＞c有无数个解．

解答： 证明：（1）b_n=

an

an+1

（

1

an

-

1

an+1

）=

an(an+1-an)

an+1 •an•an+1

=

( an+1 - an )( an+1 - an )

an+1 •an+1

≤

2 an+1 ( an+1 - an )

an+1 • an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)．
∵1=a₁≤a₂≤…≤a_n≤…，
∴0≤Sn≤2(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)=2(

1

a1

-

1

an+1

)＜2；
（2）由（1）知，bn=

an+1-an

an+1 3 2

，bn+1=

an+2-an+1

an+2 3 2

，

bn

bn+1

=

(an+1-an)•(an+2) 3 2

(an+2-an+1)•(an+1) 3 2

，
存在数列{a_n}满足2a_n+1＞a_n+a_n+2，
则Sn＞

n(an+1-an)

an+1 3 2

=c，取n=n₀使得c∈（0，2）．
∴对于任意c∈[0，2），存在数列{a_n}使关于n的不等式S_n＞c有无数个解．

点评：本题考查放缩法求数列的和，考查了学生的灵活思维和变形能力，对于（2）的证明，转化变形是关键，是难题．