Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-1，1]上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，从而可得

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，从而求出参数即可；
（2）由题意f（x）=x³-3x在[-1，1]上单调递减，且f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，从而转化恒成立问题为2+2≤t．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
故由题意可得，

f′(-1)=3a-2b-3=0 f′(1)=3a+2b-3=0

，
解得，a=1，b=0；
故y=f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x在[-1，1]上单调递减，
f（-1）=-1+3=2，f（1）=1-3=-2，
故对于区间[-1，1]上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t可化为2+2≤t，
故t≥4．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．