Question

方程x³-

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x²+6x-a=0有且只有1个实数根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：设f（x）=x³-

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x²+6x-a，方程有且只有1个实数根等价于极大值小于0，或极小值大于0时，利用导数求极值即可得a的取值范围．

解答： 解：设f（x）=x³-

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x²+6x-a，
则f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0，解得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，解得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值f（1）=

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-a，
当x=2时，函数取得极小值f（2）=2-a，
要使方程x³-

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x²+6x-a=0有且只有1个实数根，
只需2-a＞0或

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-a＜0解得a＜2或a＞

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故答案为：a＜2或a＞

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点评：本题考查函数零点的个数，涉及导数法判函数的单调性和求极值，属中档题．