Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：

（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，

又∵PA平面DEF，DE平面DEF，

∴PA∥平面DEF

（2）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3；

又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4；

∴DE2+EF2=DF2，

∴∠DEF=90°，

∴DE⊥EF；

∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；

∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；

∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC

【解析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．