【题目】设函数.
(1)求证:不论为何实数
总为增函数;
(2)确定的值,使
为奇函数;
(3)在(2)的条件下求的值域.
【答案】(1) 见解析; (2)
(3)为奇函数时,其值域为
【解析】
(1)先设x1<x2,欲证明不论a为何实数f(x)总是为增函数,只须证明:f(x1)-f(x2)<0,即可;
(2)根据f(x)为奇函数,利用定义得出f(-x)=-f(x)恒成立,从而求得a值即可.
(3)由(2)知,利用指数函数y=2x的性质结合不等式的性质即可求得f(x)的值域.
(1)的定义域为R, 设
,且
,
则=
,
,
,
即,所以不论
为何实数
总为增函数.……………………5分
(2)为奇函数,
,即
,
整理得,
则,解得:
……………………10分
(4)由(2)知,
,
,
故当为奇函数时,其值域为
……………………14分
另解:由(2)知.
由,得
,
当时,得
,矛盾,所以
;
故有.
当时,
,所以
,解得
.
故当为奇函数时,其值域为
………………14分
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:
(1)直线PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
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【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
.
(1)求,
;
(2)若,证明:
.
【答案】(1),
;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,令
, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
,
.
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,
令,
,
令
当时,
,
单调递减,且
;
当时,
,
单调递增;且
,
所以在
上当单调递减,在
上单调递增,且
,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求面积
的最大值.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求该函数的定义域;
(2)当时,如果
对任何
都成立,求实数
的取值范围;
(3)若,将函数
的图像沿
轴方向平移,得到一个偶函数
的图像,设函数
的最大值为
,求
的最小值.
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【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X | 40<X<80 | 80≤X≤120 | X>120 |
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
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【题目】不等式组 的解集记为D,有下列四个命题:
p1:(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:(x,y)∈D,x+2y≥2
p3:(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:(x,y)∈D,x+2y≤﹣1
其中真命题是( )
A.p2 , p3
B.p1 , p4
C.p1 , p2
D.p1 , p3
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【题目】已知函数.
(1)若,
都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率;
(2)若,
都是从区间
上任取的一个数,求
成立的概率.
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【题目】以下四个命题错误的序号为_______
(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.
(2) 过点P(2,-2)且与曲线相切的直线方程是
.
(3) 若样本的平均数是5,方差是3,则数据
的平均数是11,方差是12.
(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子,事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.
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