Question

7．已知a，b，c，d均为正数，且ad=bc
（Ⅰ）证明：若a+d＞b+c，则|a-d|＞|b-c|；
（Ⅱ）t•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$+$\sqrt{{b}^{4}+{d}^{4}}$，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a+d）²＞（b+c）²，两边相减，结合完全平方公式即可得证；
（Ⅱ）先证（a²+b²）（c²+d²）=（ac+bd）²，再由基本不等式，运用不等式的可加性，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）证明：由a+d＞b+c，可得
（a+d）²＞（b+c）²，又4ad=4bc，
即有（a+d）²-4ad＞（b+c）²-4bc，
即为（a-d）²＞（b-c）²，
即有|a-d|＞|b-c|；
（Ⅱ）（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+a²d²+b²c²+b²d²
=a²c²+2adbc+b²d²=（ac+bd）²，
即有t•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=t•（ac+bd），
由$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$≥$\sqrt{2}$ac，$\sqrt{{b}^{4}+{d}^{4}}$≥$\sqrt{2}$bd，
由t•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$\sqrt{{c}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{4}+{c}^{4}}$+$\sqrt{{b}^{4}+{d}^{4}}$，
可得t•（ac+bd）≥$\sqrt{2}$（ac+bd），
则t≥$\sqrt{2}$，当且仅当a=c，b=d时取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用不等式的性质，同时考查均值不等式的运用和不等式的可加性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．