Question

1．函数f（x）=x+$\frac{a}{|x|+1}$
（1）当a=4时，求f（x）的单调区间；
（2）若9＞a＞0，求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出a=4的f（x）的解析式，讨论x＞0，x＜0，求得导数，判断单调性，即可得到所求单调区间；
（2）讨论-1＜x＜0，0＜x＜2去掉绝对值，求得导数，判断单调性，注意对a讨论，求出f（0），f（2），比较即可得到所求最大值．

解答 解：（1）当a=4时，f（x）=x+$\frac{4}{|x|+1}$，
当x＞0时，f（x）=x+$\frac{4}{x+1}$的导数为f′（x）=1-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$，
由f′（x）＞0可得x＞1；f′（x）＜0可得0＜x＜1；
当x＜0时，f（x）=x+$\frac{4}{1-x}$的导数为f′（x）=1+$\frac{4}{（x-1）^{2}}$，
可得f′（x）＞0．
综上可得f（x）的增区间为（-∞，0），（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）由f（x）=x+$\frac{a}{|x|+1}$（0＜a＜9），
①当-1＜x＜0时，f（x）=x+$\frac{a}{1-x}$，f′（x）=1+$\frac{a}{（x-1）^{2}}$＞0；
②当0＜x＜2时，f（x）=x+$\frac{a}{x+1}$，f′（x）=1-$\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
当0＜a＜1时，f′（x）＞0成立；
当1＜a＜9时，由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{a}$-1；f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{a}$-1．
综上可得，f（x）在（-1，0）递增；
当0＜a≤1时，f（x）在（0，2）递增；
当1＜a＜9时，f（x）在（0，$\sqrt{a}$-1）递减，在（$\sqrt{a}$-1，2）递增．
由f（0）=a，f（2）=2+$\frac{a}{3}$，
当f（0）≥f（2），即3≤a＜9时，f（0）取得最大值，且为a；
当f（0）＜f（2），即0＜a＜3时，f（2）取得最大值，且为2+$\frac{a}{3}$．
综上可得，当3≤a＜9时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为a；
当0＜a＜3时，f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2+$\frac{a}{3}$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，注意运用导数判断符号，考查函数的最值的求法，注意分类讨论和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．