Question

16．数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，n≥2时a_n=3S_n，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由n≥2时a_n=3S_n，得到当n≥2时{a_n}是以-$\frac{3}{2}$为首项，以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，问题得以解决．

解答 解：∵数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和，n≥2时a_n=3S_n，
∴n≥2时，a_n=3S_n，
a_n+1=3S_n+1=3a_n+1+3S_n=3a_n+1+a_n，
整理，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵a₁=1，
∴a₂=3（a₂+a₁），
∴a₂=-$\frac{3}{2}$，
∴当n≥2时{a_n}是以-$\frac{3}{2}$为首项，以-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n=-$\frac{3}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）^n-2=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
综上所述a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案为：=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×（-\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$

点评 本题考查了通过递推公式求数列的通项公式，关键是转化，属于基础题．