Question

7．5男5女共10个同学排成一行．
（1）女生都排在一起，有几种排法？
（2）女生与男生相间，有几种排法？
（3）任何两个男生都不相邻，有几种？
（4）5名男不排在一起，有几种排法？
（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？

Answer 1

分析 根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．

解答 解：（1）将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A₆⁶种排法．
又5名女生内部可有A₅⁵种排法，所以共有A₅⁵A₆⁶=86400种排法．
（2）女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙，取中间4个和首尾的1个安插男生即可，
因而女生与男生相间，共有A₅⁵C₅¹A₂¹A₄⁴=18800种
（3）女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙，任取其中5个安插男生即可安插男生即可，
因而任何两个男生都不相邻的排法共有A₅⁵A₆⁵=86400种
（3）采用用间接法．即从10个人的排列总数中减去5名男生排在一起的排法种数，
得35名男不排在一起的排法种数为A₁₀¹⁰-A₅⁵=3628680种．
（4）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有A₅²种排法．又甲、乙有A₂²种排法，这样就有A₅²•A₂²种排法．
然后把他们4人看成一个元素（相当于一个男生），从这个复合元素和另外的3名男生选2人排在两端，其余的任意排，故有A₅²•A₂²•A₄²•A₅⁵=57600种．

点评 本题考查排列组合及简单的计数原理，涉及“捆绑”，“插空”等常用的方法，属中档题．