Question

2．设函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）当f（x）≤4时，|x+3|+|x+a|＜x+6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）原不等式转化为：$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜1\\-x+1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-x+1-x-1≤4\end{array}\right.$．的并集：求解即可．
（Ⅱ）转化不等式|x+3|+|x+a|＜x+6为|x+a|＜3，利用子集关系列出不等式组，即可求解实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤4的是解集以下3个不等式组解集的并集：$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ x-1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜1\\-x+1+x+1≤4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\-x+1-x-1≤4\end{array}\right.$．
解得不等式f（x）≥4解集为{x|-2≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）在-2≤x≤2时，不等式|x+3|+|x+a|＜x+6等价于|x+a|＜3，等价于-a-3＜x＜-a+3．从而[-2，2]⊆（-a-3，-a+3），所以$\left\{\begin{array}{l}-a-3＜-2\\-a+3＞2\end{array}\right.$，得实数a的取值范围是{a|-1＜a＜1}．…（10分）

点评 本题考查绝对值表达式的解法，考查分析问题解决问题的能力．