Question

2．已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（2，0），B（-2，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为λ、求C点的轨迹M的方程，并讨论轨迹M是何曲线．

Answer 1

分析 设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于λ（λ≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程；分λ的不同取值范围判断轨迹M为何种圆锥曲线．

解答 解：设C（x，y），则由题知$\frac{y}{x-1}•\frac{y}{x+1}$=λ（λ≠0），
即${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{-λ}$=1（x≠±2）为点C的轨迹方程．
当λ＞0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线；
当λ＜-1时，点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；
当λ=-1时，点C的轨迹为圆心为（0，0），半径为1的圆；
当-1＜λ＜0时，点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆．

点评 本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．