Question

12．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]，若a，b，c∈R⁺时，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=m．
（1）求证：a+2b+3c≥9；
（2）求证：$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-1，1为f（x+2）=0的解，可得m=1，即为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，可得a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$），再由三元均值不等式即可得证；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，两边平方，结合二元均值不等式和累加法，即可得证．

解答 证明：（1）f（x+2）≥0即为m-|x|≥0的解集为[-1，1]，
可得-1，1为f（x+2）=0的解，可得m=1，
即为$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，a，b，c＞0，
则a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
≥3$\root{3}{6abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{6abc}}$=9，
当且仅当a=2b=3c取得等号；
（2）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，可得
（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）²=1，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$+$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$=1，
而$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$≥$\frac{1}{ab}$，$\frac{1}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{1}{3bc}$，
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{2}{3ac}$，
累加可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$+$\frac{1}{9{c}^{2}}$≥$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{6bc}$+$\frac{1}{3ac}$，
即有1-（$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$）≥$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{6bc}$+$\frac{1}{3ac}$，
则$\frac{3}{2ab}$+$\frac{1}{2bc}$+$\frac{1}{ac}$≤1，
即为$\frac{1}{ab}$+$\frac{2}{3ac}$+$\frac{1}{3bc}$≤$\frac{2}{3}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质和累加法，同时考查绝对值表达式的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．