Question

7．已知a，b，c为正数，且a+b+c=1
（Ⅰ）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-c}$≥$\frac{2}{1+a}$+$\frac{2}{1+b}$+$\frac{2}{1+c}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a，b，c为正数，且a+b+c=1，运用乘1法，结合三元均值不等式，即可得到所求最小值；
（Ⅱ）由a，b，c为正数，且a+b+c=1，将不等式右边中的“1”代换，可得2（$\frac{1}{（a+b）+（a+c）}$+$\frac{1}{（b+a）+（b+c）}$+$\frac{1}{（c+a）+（c+b）}$），再由二元均值不等式即可得证．

解答 解：（Ⅰ）a，b，c为正数，且a+b+c=1，
由均值不等式可得，$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=（a+b+c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）
≥3$\root{3}{abc}$•3$\root{3}{\frac{1}{abc}}$=9，
当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$ 时取得最小值9；
（Ⅱ）证明：由a，b，c为正数，且a+b+c=1，
可得$\frac{2}{1+a}$+$\frac{2}{1+b}$+$\frac{2}{1+c}$=2（$\frac{1}{1+a}$+$\frac{1}{1+b}$+$\frac{1}{1+c}$）
=2（$\frac{1}{（a+b）+（a+c）}$+$\frac{1}{（b+a）+（b+c）}$+$\frac{1}{（c+a）+（c+b）}$）
≤$\frac{1}{\sqrt{（a+b）（a+c）}}$+$\frac{1}{\sqrt{（b+a）（b+c）}}$+$\frac{1}{\sqrt{（c+a）（c+b）}}$
≤$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{a+c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b+a}$+$\frac{1}{b+c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{c+a}$+$\frac{1}{c+b}$）
=$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{a+c}$=$\frac{1}{1-a}$+$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-c}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查最值的求法和不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．