Question

4．已知椭圆Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点$P（2，\frac{5}{3}）$．
（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；
（Ⅱ）若直线l经过M（0，1），与Σ交于A、B两点，$\overrightarrow{MA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=6，即a=3，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论若l与x轴垂直，求出A，B的坐标，检验不成立；若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得k的方程，解得k，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），
由椭圆的定义可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（2-2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{13}{3}$+$\frac{5}{3}$=6，
即有a=3，则b²=a²-c²=5，
则椭圆Σ的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；
（Ⅱ）若l与x轴垂直，则l的方程为x=0，
A、B为椭圆短轴上两点$（0，±\sqrt{5}）$，不符合题意；
若l与x轴垂直，设l的方程y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得，（9k²+5）x²+18kx-36=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{18k}{{9{k^2}+5}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{36}{{9{k^2}+5}}$，
由$\overrightarrow{MA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得，$（{x_1}，{y_1}-1）=-\frac{2}{3}（{x_2}，{y_2}-1）$，
即有${x_1}=-\frac{2}{3}{x_2}$，代入韦达定理，可得
$\frac{1}{3}{x_2}=-\frac{18k}{{9{k^2}+5}}$，$-\frac{2}{3}{x_2}^2=-\frac{36}{{9{k^2}+5}}$，即有${（-\frac{54k}{{9{k^2}+5}}）^2}=\frac{54}{{9{k^2}+5}}$，
解得$k=±\frac{1}{3}$，直线l的方程为$y=±\frac{1}{3}x+1$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线的方程的求法，注意分类讨论的思想方法和联立直线方程与椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．