Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=3，${a_{n+1}}={a_n}^2-n{a_n}+α，n∈{N^*}，α∈R$．
（1）若a_n≥2n对?n∈N^*都成立，求α的取值范围；
（2）当α=-2时，证明$\frac{1}{{{a_1}-2}}+\frac{1}{{{a_2}-2}}+…+\frac{1}{{{a_n}-2}}＜2（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）一方面通过令n=2可知α≥-2；另一方面，通过数学归纳法可以证明a_n≥2n对?n∈N^*都成立；
（2）通过数学归纳法可以证明a_n≥2+2^n-1，进而放缩、利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 （1）解：α的取值范围是：[-2，+∞），
必要性：令n=2即得α≥-2；
充分性：可用数学归纳法来证明：
①当n=1，2时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，a_k=2k成立，
则当n=k+1时，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+α≥（2k）²-k•2k+α≥2k²-2≥2（k+1），
即当n=k+1时命题成立；
由①②可知α的取值范围是：[-2，+∞）；
（2）证明：当α=-2时，a_n+1=${{a}_{n}}^{2}$-na_n-2，
下面用数学归纳法来证明：a_n≥2+2^n-1：
①当n=1，2时，命题显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有a_k≥2+2^k-1，
则a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k-2=a_k（a_k-k）-2≥（2^k-1+2）（2k-k）-2≥2+2^k，
即当n=k+1时，命题也成立；
由①②可知a_n≥2+2^n-1．
∴$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+$\frac{1}{{a}_{2}-2}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-2}$
≤$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
＜2．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．