Question

已知a，b均为正数，且a+b=1，证明：
（1）（ax+by）²≤ax²+by²
（2）（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题

分析：（1）将所证的关系式作差（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立；
（2）将所证的不等式左端展开，转化为(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+a 2+b2+(

1

a2

+

1

b2

)，进一步整理后，利用基本不等式即可证得结论成立．

解答： 证明：（1））（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy，
因为a+b=1，
所以a-1=-b，b-1=-a，又a，b均为正数，
所以a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x²+y²-2xy）=-ab（x-y）²≤0，当且仅当x=y时等号成立；
（2）(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+a 2+b2+(

1

a2

+

1

b2

)
=4+a2+b2+

(a+b)2

a2

+

(a+b)2

b2

=4+a2+b2+1+

2b

a

+

b2

a2

+

a2

b2

+

2a

b

+1
=4+(a2+b2)+2+2(

b

a

+

a

b

)+(

b2

a2

+

a2

b2

)≥4+

(a+b)2

2

+2+4+2=

25

2

．
当且仅当a=b时等号成立．

点评：本题考查不等式的证明，着重考查作差法的应用，突出考查等价转化思想与逻辑推理能力，属于难题．