Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上单调增，求的取值范围；

（3）若函数在定义域上不单调，试判定的零点个数，并给出证明过程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）函数必有三个不同零点，证明详见解析．

【解析】

（1）求导后可得即为切线斜率，再求出，利用点斜式即可得解；

（2）转化条件得在时恒成立，令，对求导后求出，令即可得解；

（3）由题意若函数在定义域上不是单调函数，设，求导后，即可确定函数的零点个数，结合即可得解.

（1）当时，，

则，，

则在处的切线斜率为，

所以函数在处的切线方程为即；

（2）因为．

所以的定义域为，，

又因为函数在定义域上为单递增函数，

所以在时恒成立，

即在时恒成立，

设，

则，

当时，，则在上为减函数，

当时，，则在上为增函数，

所以在时恒成立，

所以；

（3）因为，

所以，则不可能对恒成立，

即在定义域上不可能始终都为减函数，

由（2）知函数为增函数，

所以若函数在定义域上不是单调函数，

又因为，所以是函数一个零点，

令即，

设，则与有相同的零点，

令，得，

因为，所以，

所以有两个不相等实数解，，

因为，，所以不妨设，

当时，，在为增函数；

当时，，在为减函数；

当时，，在为增函数；

则，，

又因为时，，，

所以，，

又因为在图象不间断，所以在上有唯一零点；

又因为在图象不间断，所以在上有唯一零点；

又因为是函数一个零点，

综上，函数必有三个不同零点．