Question

【题目】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律．右边的数字三角形可以看作当n依次取0，1，2，3，…时展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列．例：，，，…．

（1）写出数列的通项公式（结果用组合数表示），无需证明；

（2）猜想，与的大小关系，并用数学归纳法证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明详见解析．

【解析】

（1）根据图形可直接归纳出结论；

（2）先证明，猜想：，利用数学归纳法证明不等式即可.

（1）

（2）先证明一个事实：对任意的，都有

当n为奇数时，

；

当n为偶数时

．

所以对任意的，都有

当时，

当时，；

当时，．

猜想

下面用数学归纳法证明：

当时，成立．

假设当时，

成立，

那么当时

．

所以当时．命题也成立．

综上，对任意的，成立．