Question

（1）求证f（x）=x³+x在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）确定函数f(x)=

1

1-2x

的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接结合函数单调性的定义进行求证；（2）首先，探讨给定函数的单调性，然后，用定义证明．

解答： 解：（1）任意设x₁，x₂∈（-∞，+∞），x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

x

3 1

+x1-(

x

3 2

+x2)，
=(x1-x2)(

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

+1)，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∵

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）=x³+x在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）∵1-2x＞0，
∴x＜

1

2

，
设函数t=1-2x，则该函数在（-∞，

1

2

）上为减函数，
∴函数f(x)=

1

1-2x

的增区间（-∞，

1

2

）．

点评：本题重点考查函数的单调性及其证明，属于中档题．