Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n．且满足a1=

1

2

，an=-2SnSn-1(n≥2)
（1）证明：数列{

1

Sn

}为等差数列；
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

分析：（1）利用条件求出{

1

Sn

}的通项公式，利用等差数列的定义证明：数列{

1

Sn

}为等差数列；
（2）根据{

1

Sn

}为等差数列，求S_n及a_n．

解答：解（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2S_n•S_n-1，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)，
∴{

1

Sn

}是以

1

S1

=

1

a1

=2为首项，2为公差的等差数列．
（2）∵数列{

1

Sn

}为等差数列，
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，
即Sn=

1

2n

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

(

1

n

-

1

n-1

)=-

1

2n(n-1)

，
∴an=

1 2 - 1 2n(n-1)

(n=1) (n≥2)

．

点评：本题主要考查等差数列的定义以及等差数列的通项公式，以及数列{a_n}的前n项和为S_n与a_n之间的关系．考查学生的基本运算能力．