Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

1

2

．过F₁的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．过定点M（0，3）的直线l₁与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率e=

c

a

=

1

2

，
△ABF₂的周长为|AF₁|+|AF₂|+|AF₁|+|AF₂|=4a=8，
解得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）直线l₁的方程为y=kx+3（k＞0），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+3

，消去y并整理得（3+4k²）x²+24kx+24=0（*），
△=（24k）²-4×24×（3+4k²）＞0，解得k＞

6

2

，
设椭圆的弦GH的中点为N（x₀，y₀），
则“在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG、PH为邻边的平行四边形为菱形．”等价于“在x轴上是否存在点P（m，0），使得PN⊥l₁”．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由韦达定理得，x₁+x₂=-

24k

3+4k2

，
所以x₀=

x1+x2

2

=-

12k

3+4k2

，∴y₀=kx₀+3═

9

3+4k2

，
∴N(-

12k

3+4k2

，

9

3+4k2

)，kPN=-

9

12k+m(3+4k2)

，
所以，-

9

12k+m(3+4k2)

•k=-1，解得m=-

3k

3+4k2

(k＞

6

2

)．
m′(k)=

3(2k- 3 )(2k+ 3 )

(3+4k2)2

＞

3( 6 - 3 )(2k+ 3 )

(3+4k2)2

＞0，
所以，函数m=-

3k

3+4k2

(k＞

6

2

)在定义域(

6

2

，+∞)单调递增，m(

6

2

)=-

6

6

，
所以满足条件的点P（m，0）存在，m的取值范围为(-

6

6

，+∞)．