Question

【题目】如图，在三棱柱中，边长为的正方形，，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2） （3）证明见解析;

【解析】

（1）根据所给线段长度,由勾股定理逆定理可得,结合正方形中的垂直关系,利用线面垂直的判定定理即可判断平面.

（2）以为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面与平面的法向量,根据向量的数量积运算即可求得向量夹角的余弦值.

（3）假设在线段上存在点,设出点的坐标,根据垂直时的向量坐标运算求得点的坐标,即可证明存在点;根据相似,即可求得的值.

（1）因为边长为的正方形, ,,

则,即

又正方形中,且

所以平面

（2）以为原点,以所在直线为轴, 以所在直线为轴, 以所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系

则,,,

所以,,

设平面的法向量为,平面的法向量为,

则代入可得,令则解得

所以

同理代入可得,令则解得

所以

则

由图可知, 平面与平面形成的二面角为锐二面角

所以二面角的余弦值为

（3）证明:假设在线段上存在点，使得,过作,作,如下图所示:

设,则由,即,所以

则,由,即,所以

所以

所以,

因为

所以

即,化简可得

解得

即在线段上存在点，使得

则