【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
.
为线段
的中点.
(1)证明:面
;
(2)求与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据已知条件证明,结合
平面
.即可得证;
(2)解法一(几何法):先找到在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;
解法二(空间向量法):建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出坐标和平面
的法向量坐标,结合线面角公式,即可得结果.
(1)取中点
,因为
,
,
所以,
,∴
.
因为平面
,
平面
,所以
,
因为平面
,
平面
,
,
所以面
.
(2)法一:连结,由(1)
平面
可得
,
与平面
所成角为
.
∵,
分别是
,
的中点,
∴,
因为,
,
所以,
,
因为,所以
,
∴在中,
,
∴.
因此与平面
所成的角的正弦值为
.
法二:以为坐标原点,
,
平行于
的直线
为,
,
轴,建立如图所示空间直角坐标系,则因为
,
,所以
,
,
因为,所以
,因此
,
,
,
,
,
从而为平面
一个法向量,
,
,
.
因此与平面
所成的角的正弦值为
.
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【题目】如图,在四棱锥中,
,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,
,
为
的中点.
(i)过点作一直线
与
平行,在图中画出直线
并说明理由;
(ii)求平面将三棱锥
分成的两部分体积的比.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,且
,其中
,
,
分别是
,
,
的中点,动点
在线段
上运动时,下列四个结论:①
;②
;③
面
;④
面
,
其中恒成立的为( )
A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③
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【题目】如下图,在正方体中,点
分别为棱
,
的中点,点
为上底面的中心,过
三点的平面把正方体分为两部分,其中含
的部分为
,不含
的部分为
,连接
和
的任一点
,设
与平面
所成角为
,则
的最大值为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知是定义在R上的偶函数且以2为周期,则“
为
上的增函数”是“
为
上的减函数”的
A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件
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【题目】已知a∈R,命题p:x∈[-2,-1],x2-a≥0,命题q:.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
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【题目】如图, △ABC 中, ACB 90 , ABC 30 , BC ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC,AB 分别相切于点 C,M ,与 BC 交于点 N ),将其绕直线 BC旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体体积为________;
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