【题目】已知函数
，
.
（1）求函数
的极值；
（2）①讨论函数
的单调性；
②求证：
.
【答案】(1)见解析；(2)见证明
【解析】
（1）先对函数
求导，求出其单调区间，即可得出其极值；
（2）①对函数
求导，可得
，由（1）的结果，即可确定函数的单调性；
②由①可知，函数在定义域
上单调递减，进而可得
对任意
恒成立，再令
（
，且
），代入不等式整理即可得出结论成立.
解：（1）
.
令
，得
；令
，得
，
所以函数在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
所以-1是函数的一个极大值点，即
，无极小值.
（2）①函数
的定义域为.
，
由（1）得，的最大值为其极大值
，
所以
的最大值为.
所以对一切
，都有
.
所以函数在定义域上单调递减.
②由①可知，函数在定义域上单调递减，
则当
时，
，
即对任意恒成立.
令（，且），得
，
得
，
得
，
得
，所以
，即
.
令
，即得
.
名校联盟快乐课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．
求证：（1）AB∥平面A1B1C；
（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
：
（
）的离心率为
，椭圆
与
轴交于
两点，且
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
是椭圆上的一个动点，且点
在轴的右侧，直线
与直线
交于
两点，若以
为直径的圆与
轴交于
，求点
横坐标的取值范围及
的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】将
个不同的红球和
个不同的白球，放入同一个袋中，现从中取出个球.
（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；
（2）取出一个红球记
分，取出一个白球记
分，若取出个球的总分不少于
分，则有多少种不同的取法；
（3）若将取出的个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到个红球并且恰有一次取到个白球的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文题目中的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数
分，为及格；分数
分，为高分”，若甲、乙两班的成绩的平均分都是44分，
（1）求
的值；
（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，公路
围成的是一块顶角为
的角形耕地，其中
，在该块土地中
处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为
，现要过点修建一条直线公路
，将三条公路围成的区域
建成一个工业园.
（1）以
为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为
，求公路所在直线方程.
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【题目】已知椭圆
长轴的两顶点为
、
，左、右焦点分别为
、
，焦距为
，且
，过且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的弦长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）在双曲线
上取点
异于顶点，直线
与椭圆交于点
，若直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，试证明:
为定值；
（3）在椭圆外的抛物线
上取一点
，若
、
的斜率分别为
、
，求
的取值范围.
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