Question

【题目】已知椭圆长轴的两顶点为、，左、右焦点分别为、，焦距为，且，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）在双曲线上取点异于顶点，直线与椭圆交于点，若直线、、、的斜率分别为、、、，试证明:为定值；

（3）在椭圆外的抛物线上取一点，若、的斜率分别为、，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）由，可得出，由题意得出点在椭圆上，将此点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设点、，根据直线的斜率公式，求得，，由与共线，得出，即可求出；

（3）设点，求得（且），（且），可得出（且），然后利用函数的单调性可得出的取值范围.

（1），，所以，椭圆的方程为，

由于且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为，则点在椭圆上，

所以， ，解得，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）设点、，由（1）可知、、、，

则，得，，

，得，.

又，，可得，

因此，（定值）；

（3）设点，由，解得，

由点在椭圆外的抛物线上一点，则，

直线的斜率为（且），

直线的斜率为（且），

则（且），

则（且），

令，则且，设函数（且），

则函数在区间和上均为增函数，

当时，，即；

当时，.

因此，的取值范围是.