Question

【题目】在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为：．现给出下列4个命题：

①已知、，则为定值；

②已知三点不共线，则必有；

③用表示两点之间的距离，则；

④若是椭圆上的任意两点，则的最大值为6．

则下列判断正确的为__________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据题中直角距离的定义先分别表示出问题的表达式，然后再一一判断:

①直接利用新定义结合同角三角函数关系化简即可得出结果;

②直接举出反例论证推理原不等式不正确;

③设,,则,,然后利用基本不等式进行缩放进而可以判断结果;

④先判断当PQ过椭圆中心时最大，则设坐标P(),Q(),,然后利用新定义公式结合三角函数的相关公式缩放判断求得结果.

① ，∴①正确；

② 反例如图，此时；∴②错误；

③ 记，则，

由基本不等式得，，∴③正确；

④ 当的倾斜角恒定时，当且仅当过椭圆中心时，最长，

设，

则，∴④正确；

综上，判断正确的为①③④

故答案为: ①③④