Question

【题目】已知函数.

（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若有两个极值点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据不等式构造函数，通过函数的导数，对a分类讨论，分别求解函数的单调性及极值，求出满足条件的实数a的取值范围．

（2）求出x1x2，只需证明，不妨设x1＞x2，只需证明，令t（t＞1），原不等式转化为lnt，结合（1）利用不等式的传递性证明即可．

（1）令，，，

令，

当时，，且对称轴，

所以当时，，在上单调递增，

所以恒成立，

当时，，可知必存在区间，使得，

当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上；

（2），令在有两个不同的零点，

，若，则，不合题意；

若，设两个零点分别为，则，

可得，

要证，即证，

即证，即证，

即证，即证，

令，即证

由（1）可得时，，

只需证，即证，

故原不等式得证.