【题目】已知函数.
(1)当时,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若有两个极值点
,
,求证:
.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)根据不等式构造函数,通过函数的导数,对a分类讨论,分别求解函数的单调性及极值,求出满足条件的实数a的取值范围.
(2)求出x1x2
,只需证明
,不妨设x1>x2,只需证明
,令
t(t>1),原不等式转化为lnt
,结合(1)利用不等式的传递性证明即可.
(1)令,
,
,
令,
当时,
,且对称轴
,
所以当时,
,
在
上单调递增,
所以恒成立,
当时,
,可知必存在区间
,使得
,
当时,有
,即
在
上单调递减,由于
,此时不合题意,综上
;
(2),令
在
有两个不同的零点,
,若
,则
,不合题意;
若,设两个零点分别为
,则
,
可得,
要证,即证
,
即证,即证
,
即证,即证
,
令,即证
由(1)可得时,
,
只需证,即证
,
故原不等式得证.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,且
,其中
,
,
分别是
,
,
的中点,动点
在线段
上运动时,下列四个结论:①
;②
;③
面
;④
面
,
其中恒成立的为( )
A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③
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【题目】在平面直角坐标系中,定义两点与
之间的“直角距离”为:
.现给出下列4个命题:
①已知、
,则
为定值;
②已知三点不共线,则必有
;
③用表示
两点之间的距离,则
;
④若是椭圆
上的任意两点,则
的最大值为6.
则下列判断正确的为__________.
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【题目】(本小题满分13分) 已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程
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【题目】如图, △ABC 中, ACB 90 , ABC 30 , BC ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC,AB 分别相切于点 C,M ,与 BC 交于点 N ),将其绕直线 BC旋转一周得到一个旋转体,则该旋转体体积为________;
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【题目】已知复数 z a bi ,其中 a .b 为实数,i 为虚数单位, 为 z 的共轭复数,且存在非零实数 t ,使
成立.
(1)求 2a b 的值;
(2)若| z 2 | 5,求实数 a 的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)分别写出直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点,直线
与曲线
相交于
,
两点,若
,求
的值.
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