Question

已知函数f(x)=

ax+b x∈(-1，0] x-b x-a x∈(0，1)

，其中a＞0，b＞0，若

lim

x→0

f(x)存在，且f（x）在（-1，1）上有最大值，则b的取值范围是（　　）

• A、0＜b≤1
• B、b＞1
• C、b≥1
• D、

  1

  2

  ＜b≤1

Answer 1

分析：由

lim

x→0

f(x)存在，求出a=1，再由f（x）在（-1，1）上有最大值，求出b的取值范围．

解答：解：

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

(ax+b)=b，

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0+

x-b

x-a

=

b

a

，
∵

lim

x→0

f(x)存在，∴

b

a

=b，∴a=1．
∴f(x)=

x+b，x∈(-1，0] x-b x-1 ，(0，1)

，
∵f（x）在（-1，1）上有最大值，
∴当x∈（-1，0]时，f（x）=x+b，f（x）_max=f（0）=b，
当x∈（0，1）时，f（x）=

x-b

x-1

，∴f′(x)=

b-1

(x-1)2

．
∵f（x）在（-1，1）上有最大值，
∴0＜b≤1．
故选A．

点评：本题考查极限及其运算，解题时要认真审题，仔细解答．