Question

已知数列{a_n}，a_n∈N^*，前n项和S_n=（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

解：（1）证明：∵a_n+1
=S_n+1-S_n
=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴8a_n+1=（a_n+1+2）²-（a_n+2）²，
∴（a_n+1-2）²-（a_n+2）²=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0．
∵a_n∈N^*，∴a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-4=0．
即a_n+1-a_n=4，∴数列{a_n}是等差数列．
（2）由（1）知a₁=S₁=（a₁+2），解得a₁=2．∴a_n=4n-2，
b_n=a_n-30=2n-31，（以下用两种方法求解）
法一：
由b_n=2n-31可得：首项b₁=-29，公差d=2
∴数列{b_n}的前n项和s_n=n²-30n=（n-15）²-225
∴当n=15时，s_n=225为最小；
法二：
由得
≤n＜．∵n∈N^*，∴n=15，
∴{a_n}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S_5最小．又b₁=-29，
∴S₁₅==-225
分析：本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题．
（1）根据a_n+1=S_n+1-S_n及前n项和S_n=（a_n+2）²，可以得到（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0，从而问题得证．
（2）由（1）可得数列{a_n}的通项公式，进而由b_n=a_n-30得到数列{b_n}的通项公式，然后可求数列{b_n}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项．
点评：本题的（2）中求s_n的最值问题是数列中较为常见的一种类型，主要方法有两种：
法一只适用于等差数列的和的最值问题，对于其他数列，因为不能转化为关于n的二次函数，所以无法使用，有一定的局限性；
法二是常规方法，使用范围广，其特点是找到递增或递减的数列中正项和负项的转折“点”而得到答案．