Question

11．点P是曲线ρ=2（0≤θ≤π）上的动点，A（2，0），AP的中点为Q．
（1）求点Q的轨迹C的直角坐标方程；
（2）若C上点 M处的切线斜率的取值范围是[-$\sqrt{3}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}}$]，求点 M横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2（0≤θ≤π），得$x_{\;}^2+y_{\;}^2=4\;（{y≥0}）$．设P（x₁，y₁），Q（x，y），利用中点坐标公式可得：x₁=2x-2，y₁=2y，代入$x_1^2+y_1^2=4\;（{y≥0}）$，即可得出．
（2）轨迹C是一个以（1，0）为圆心，1为半径的半圆，如图所示，设M（1+cosφ，sinφ），设点M处切线l的倾斜角为α由l斜率范围$[{-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，可得$\frac{2π}{3}≤α≤\frac{5π}{6}$，由$φ=α-\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}≤φ≤\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）由ρ=2（0≤θ≤π），得$x_{\;}^2+y_{\;}^2=4\;（{y≥0}）$．
设P（x₁，y₁），Q（x，y），
则$x=\frac{{{x_1}+2}}{2}，y=\frac{y_1}{2}$，即x₁=2x-2，y₁=2y，代入$x_1^2+y_1^2=4\;（{y≥0}）$，
得（2x-2）²+（2y）²=4，∴（x-1）²+y²=1（y≥0）．
（Ⅱ）轨迹C是一个以（1，0）为圆心，1为半径的半圆，如图所示，
设M（1+cosφ，sinφ），设点M处切线l的倾斜角为α由l斜率范围$[{-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$，可得$\frac{2π}{3}≤α≤\frac{5π}{6}$，
而$φ=α-\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}≤φ≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{3}{2}≤1+cosφ≤\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}$，
∴点M横坐标的取值范围是$[{\frac{3}{2}，\frac{{2+\sqrt{3}}}{2}}]$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、中点坐标公式、直线与圆的方程、三角函数求值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．