Question

设x，y，z∈R₊，且3^x=4^y=6^z．
（1）求证：

1

z

-

1

x

=

1

2y

；
（2）比较3x，4y，6z的大小．

Answer 1

考点：不等式比较大小,有理数指数幂的化简求值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于x，y，z∈R₊，且3^x=4^y=6^z=k＞1，可得x=

lgk

lg3

，y=

lgk

lg4

，z=

lgk

lg6

．即可证明；
（2）由于3x=

lgk

lg 3 3

，4y=

lgk

lg 2

，6z=

lgk

lg 6 6

．lgk＞0，可得

3	3

=

6	9

＞

6	8

=

2

＞

6	6

＞1，即可得出．

解答： （1）证明：∵x，y，z∈R₊，且3^x=4^y=6^z=k＞1，
∴x=

lgk

lg3

，y=

lgk

lg4

，z=

lgk

lg6

．
∴

1

z

-

1

x

=

lg6

lgk

-

lg3

lgk

=

lg2

lgk

，

1

2y

=

lg4

2lgk

=

lg2

lgk

．
∴

1

z

-

1

x

=

1

2y

．
（2）解：3x=

3lgk

lg3

=

lgk

lg 3 3

，
4y=

4lgk

lg4

=

lgk

lg 2

6z=

6lgk

lg6

=

lgk

lg 6 6

．
∵k＞1，∴lgk＞0，
∵

3	3

=

6	9

＞

6	8

=

2

＞

6	6

＞1，
∴3x＜4y＜6z．

点评：本题考查了指数式与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．