Question

17．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（Ⅰ）证明：B₁C⊥AC₁
（Ⅱ）若M为A₁C₁的中点，求二面角A-B₁M-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过B₁作BO⊥平面ABC，则OB，OB₁，OC两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁C⊥AC₁．
（Ⅱ）求出平面AB₁M的法向量和平面B₁MA₁的法向量，利用向量法能求出二面角A-B₁M-A₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过B₁作BO⊥平面ABC，
∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，∠B₁BA=$\frac{π}{3}$，
M，N分别为A₁C₁与B₁C的中点，且侧面ABB₁A₁⊥底面ABC．
∴△ABC和△ABB₁是边长为2的等边三角形，∴O是AB中点，∴B₁O=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴OB，OB₁，OC两两垂直，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（0，$\sqrt{3}$，0），A（-1，0，0），C₁（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，$\sqrt{3}，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{A{C}_{1}}$=0+3-3=0，
∴B₁C⊥AC₁．
解：（Ⅱ）∵M为A₁C₁的中点，A₁（-2，0，$\sqrt{3}$），A（-1，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C₁（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），
设平面AB₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，3，1），
平面B₁MA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A-B₁M-A₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角A-B₁M-A₁的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．