Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xln（1+x）+{x}^{2}，x≥0}\\{-xln（1-x）+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 判断f（x）为偶函数，运用导数判断f（x）在[0，+∞）的单调性，则f（-a）+f（a）≤2f（1）转化为|a|≤1，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xln（1+x）+{x}^{2}，x≥0}\\{-xln（1-x）+{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
将x换为-x，函数值不变，即有f（x）图象关于y轴对称，
即f（x）为偶函数，有f（-x）=f（x），
当x≥0时，f（x）=xln（1+x）+x²的导数为f′（x）=ln（1+x）+$\frac{x}{1+x}$+2x≥0，
则f（x）在[0，+∞）递增，
f（-a）+f（a）≤2f（1），即为2f（a）≤2f（1），
可得f（|a|））≤f（1），可得|a|≤1，
解得-1≤a≤1．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的应用：解不等式，注意运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．