Question

已知函数f（x）=

mx

x2+n

（m，n∈R）在x=1处取到极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=ax-lnx．若对任意的x₁∈[

1

2

，2]，总存在唯一的x₂∈[

1

e2

，e]（e为自然对数的底），使得g（x₂）=f（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；
（2）确定f（x）在(

1

2

，1)上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意g′(x)=a-

1

x

，记M=[

1

e2

，e]，从而可得

1

e

≤

1

x

≤e2，再分类讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

m(x2+n)-2mx2

(x2+n)2

=

-mx2+mn

(x2+n)2

…（2分）
∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2
∴

mn-m (1+n)2 =0 m 1+n =2

，解得m=4，n=1，
故f(x)=

4x

x2+1

…（5分）
（2）由（1）知f′(x)=

4(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，故f（x）在(

1

2

，1)上单调递增，在（1，2）上单调递减，
由f(1)=2，f(2)=f(

1

2

)=

8

5

，故f（x）的值域为[

8

5

，2]…（7分）
依题意g′(x)=a-

1

x

，记M=[

1

e2

，e]，
∵x∈M
∴

1

e

≤

1

x

≤e2
（ⅰ）当a≤

1

e

时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，
依题意由

a≤ 1 e g(e)≤ 8 5 g( 1 e2 )≥2

，得0≤a≤

1

e

，…（8分）
（ⅱ）当

1

e

＜a≤e2时，e＞

1

a

＞

1

e2

当x∈(

1

e2

，

1

a

)时，g′（x）＜0，当x∈(

1

a

，e)时，g′（x）＞0
依题意得：

1 e ＜a＜e2 g(e)＜ 8 5 g( 1 e2 )≥2

或

1 e ＜a＜e2 g(e)≥2 g( 1 e2 )＜ 8 5

，解得

1

e

＜a＜

13

5e

，…（10分）
（ⅲ）当a＞e²时，

1

a

＜

1

e2

，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得

a＞e2 g(e)≥2 g( 1 e2 )≤ 8 5

，即

a＞e2 ea-1≥2 a e2 +2≤ 8 5

，此不等式组无解 …（11分）．
综上，所求a取值范围为0≤a≤

13

5e

…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．