Question

12．已知圆C的方程为x²+y²-mx-2my=0（m≠0），以下关于这个圆的叙述中，所有正确命题的序号是②④．
①直线y=x与y轴的夹角的平分线必过圆心；
②圆C的圆心不可能在第二象限或第四象限；
③y轴被圆C所截得的弦长为2m；
④圆C必定经过坐标原点．

Answer 1

分析 将圆的一般方程转化为标准方程，可得圆心C（$\frac{m}{2}，m$），半径r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m|，由圆心坐标可知，圆心在直线y=2x上，不在直线y=x与y轴的夹角的平分线上，故①错误；分类讨论m的正负，可知圆心只能在第一或第三象限，故②错误；先求出圆心到y轴的距离d=$\frac{|m|}{2}$，而弦长L=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2|m|，故③错误；因为（0，0）满足圆的方程，所以圆C必定经过坐标原点．故④正确．

解答 解：圆C：x²+y²-mx-2my=0，即$（x-\frac{m}{2}）^{2}+（y-m）^{2}=\frac{5{m}^{2}}{4}$
故圆心C（$\frac{m}{2}，m$），半径r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m|，
对于①：圆心C（$\frac{m}{2}，m$）在直线y=2x上，不在直线y=x与y轴的夹角的平分线上．故①错误；
对于②：m＞0时，圆心C在第一象限；m＜0时，圆心C在第三象限．故②正确；
对于③：圆心C到y轴的距离d=$\frac{|m|}{2}$，所以y轴被圆C所截得的弦长L=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2|m|$．故③错误；
对于④：因为（0，0）满足圆的方程，所以圆C必定经过坐标原点．故④正确．
故答案为：②④

点评 本题通过命题真假的判断考查了圆的一般方程和标准方程的互化，直线被圆所截得的弦长等知识点．