Question

4．已知平面区域Ω=$\left\{{（x，y）\left|{0≤y≤\sqrt{4-{x^2}}}\right.}\right\}$直线l：y=mx+2m和曲线C：$\left\{{（x，y）\left|{\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.\begin{array}{l}{\;}，{θ∈[{0，π}]}\end{array}}\right.}\right\}$，有两个不同交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内有概率为P（M），若P（M）∈[$\frac{π-2}{2π}，1}$]，则实数m的取值范围为[0，1]．

Answer 1

分析 画出图形，不难发现直线恒过定点（-2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（-2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围

解答 解：画出图形，发现直线恒过定点（-2，0），
圆是上半圆，面积为2π；
当直线过（-2，0），（0，2）时，
它们围成的平面区域为M，面积为π-2，向区域Ω上随机投一点A，
点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=$\frac{π-2}{2π}$，
当直线与x轴重合时，P（M）=1；
直线的斜率范围是[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想．