Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_n=2a_n-3，得a₁=3，S_n-1=2a_n-1-3（n≥2），相减可得a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N），再利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-3，①得a₁=3，S_n-1=2a_n-1-3（n≥2），②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N），
所以数列{a_n}是以3为首项，2为公比的等比数列，
所以${a_n}=3•{2^{n-1}}$（n∈N*）．
（Ⅱ）${T_n}=3（1•{2^0}+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}）$，
$2{T_n}=3（1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}）$，
作差得$-{T_n}=3（1•{2^0}+1•{2^1}+1•{2^2}+…+1•{2^{n-1}}-n•{2^n}）$，
∴${T_n}=3（n-1）{2^n}+3$（n∈N*）．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．