精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于两点.点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程.

(Ⅰ)椭圆的方程为;(Ⅱ)直线的方程为

解析试题分析:(Ⅰ)由已知,椭圆的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形,所以,利用,可得,又椭圆的焦点在轴上,从而得椭圆的方程;(Ⅱ)需分直线的斜率是否为0讨论.①当直线的斜率为0时,则;②当直线的斜率不为0时,设,直线的方程为,将代入,整理得.利用韦达定理列出.结合,列出关于的函数,应用均值不等式求其最值,从而得的值,最后求出直线的方程.
试题解析:(Ⅰ)由已知得(2分),又,∴椭圆方程为(4分)
(Ⅱ)①当直线的斜率为0时,则;       6分
②当直线的斜率不为0时,设,直线的方程为
代入,整理得
.      8分

所以,=
 10分.
,则
所以当且仅当,即时,取等号. 由①②得,直线的方程为.13分.
考点:1.椭圆方程的求法;2.直线和椭圆位置关系中最值问题;3.均值不等式.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线C上的一点,且的外接圆圆心到准线的距离为

(I)求抛物线C的方程;
(II)若圆F的方程为,过点P作圆F的2条切线分别交轴于点,求面积的最小值时的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知顶点在原点,焦点在轴上的抛物线过点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若抛物线与直线交于两点,求证:.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点A,B。已知点A的坐标为。若,求直线的倾斜角。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点.若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

矩形的中心在坐标原点,边轴平行,=8,=6.分别是矩形四条边的中点,是线段的四等分点,是线段的四等分点.设直线,,的交点依次为.

(1)求以为长轴,以为短轴的椭圆Q的方程;
(2)根据条件可判定点都在(1)中的椭圆Q上,请以点L为例,给出证明(即证明点L在椭圆Q上).
(3)设线段等分点从左向右依次为,线段等分点从上向下依次为,那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆Q上?(写出结果即可,此问不要求证明)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知圆直线与圆相切,且交椭圆两点,是椭圆的半焦距,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)O为坐标原点,若求椭圆的方程;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设椭圆的左右顶点分别为A,B,动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设抛物线的焦点为,准线为,以为圆心的圆相切于点的纵坐标为是圆轴除外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆的方程;
( II)已知直线交于两点,交于点,且, 求的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知椭圆
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角(为坐标原点),求直线的斜率的取值范围;
(3)过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆相交于四点,设原点到四边形的一边距离为,试求满足的条件.

查看答案和解析>>

同步练习册答案