Question

函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x₀与x=-1处取得极值，给出下列判断：
①f（1）+f（-1）=0；②f（-2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（-∞，0）上是增函数．其中正确的判断是

 

．（写出所有正确判断的序号）

Answer 1

分析：先根据题意可得f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀）且a＜0，然后求出f（1）+f（-1），f（-2）判定符号即可，最后根据f′（x）是开口向下，对称轴为x=

x0-1

6a

＞0的二次函数，可得函数在区间（-∞，0）上的单调性．

解答：解：∵函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象如图所示，且f（x）
在x=x₀与x=-1处取得极值
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀），a＜0
则2b=3a（1-x₀），c=-3ax₀
∴f（1）+f（-1）=2b=3a（1-x₀）＞0故①不正确
f（-2）=-8a+4b-2c=-8a+6a=-2a＞0，故②正确
f′（x）=3ax²+2bx+c=3a（x+1）（x-x₀）是开口向下，对称轴为x=

x0-1

6a

＞0
∴函数y=f'（x）在区间（-∞，0）上是增函数，故③正确
故答案为：②③

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的性质，以及研究函数的单调性，同时考查了识图能力，运算分析能力，属于中档题．