Question

19．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}$+ax与g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$
（1）若f（x）在区间[1，+∞）单调递增，求a的最小值；
（2）求函数g（x）的在区间[-1，2]上的最大值与最小值；
（3）对?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式和法则求出f′（x），由导数与函数单调性的关系，将条件转化为f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，利用分离常数法和二次函数的性质求解；
（2）由求导公式和法则求出g′（x），由函数与导数的关系，求出g（x）在区间[-1，2]上的单调性、最大值与最小值；
（3）将“?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立”转化成“f′（x）的值域包含g（x）的值域”，利用函数单调性求出f′（x）的值域，由集合间的关系列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=x²+2x+a，
∵f（x）在区间[1，+∞）单调递增，
∴f′（x）=x²+2x+a≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²-2x=-（x+1）²+1在区间[1，+∞）上恒成立，
设y=-x²-2x=-（x+1）²+1，∵函数y在[1，+∞）上单调递减，
∴函数y的最大值为-3，即a≥-3，
∴a的最小值是-3；
（2）∵g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）=0得，x=1，
∴g（x）在（-1，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∵g（-1）=-e，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴在[-1，2]上g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，∴g（x）_min=-e；
（3）∵?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立，
∴f′（x）的值域包含g（x）的值域[-e，$\frac{1}{e}$]，
∵f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1在[-1，2]上单调递增，
∴[f′（x）]_max=[f′（2）]=8+a，[f′（x）]_min=[f′（-1）]=a-1，
则f′（x）的值域是[a-1，a+8]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+8≥\frac{1}{e}}\\{a-1≤-e}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{e}-8$≤a≤1-e，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{e}-8$，1-e]．

点评 本题考查导数与函数单调性、最值关系的应用，一元二次函数的性质，以及对于“?”“?”的理解，考查转化思想，分析问题、解决问题的能力．