Question

14．已知函数f（x）=msinx+ncosx，且$f（\frac{π}{4}）$是它的最大值，（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：
①$f（x+\frac{π}{4}）$为偶函数；
②函数f（x）的图象关于点$（\frac{7π}{4}，0）$对称；
③$f（-\frac{3π}{4}）$是函数f（x）的最小值；
④记函数f（x）的图象在y右侧与直线$y=\frac{m}{2}$的交点按横坐标从小到大依次记为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π；
⑤$\frac{n}{m}=1$．
其中真命题的有几个？（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 化简函数f（x），根据f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值得出m、n之间的关系；
判断f（x+$\frac{π}{4}$）是偶函数，得出①正确；
判断x=$\frac{7π}{4}$时，f（x）=0，函数f（x）的图象关于点（$\frac{7π}{4}$，0）对称，②正确；
计算f（-$\frac{3π}{4}$）的值，是函数f（x）的最小值，③正确；
由函数f（x）的图象得出|P₂P₄|等于-个周期2π，得出④错误；
由tanφ=$\frac{n}{m}$=1，可得⑤正确．

解答 解：函数f（x）=msinx+ncosx=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+φ），且f（$\frac{π}{4}$）是它的最大值，
∴$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，∴tanφ=$\frac{n}{m}$=1．
∴f（x）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+2kπ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$）；
对于①，由于f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（x+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$ ）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$cosx，是偶函数，故①正确；
对于②，由于当x=$\frac{7π}{4}$时，f（x）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{7π}{4}$）=0，故函数f（x）的图象关于点（$\frac{7π}{4}$0）对称，故②正确；
对于③，由于f（-$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$ sin（-$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$ ）=-$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$，是 函数f（x）的最小值，故 ③正确；
对于④，函数f（x）的图象即把函数y=$\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}$sinx的图象向左平移$\frac{π}{4}$ 个单位得到的，
故|P₂P₄|等于-个周期2π，故④不正确；
对于⑤，由tanφ=$\frac{n}{m}$=1，可得⑤正确；
综上，以上正确命题的序号为①②③⑤．
 故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查了两角和的正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换问题，是综合性题目．