Question

10．设（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+$\sqrt{2}$b_n（n∈N^*，a_n∈Z，b_n∈Z）．
（1）求a₃，b₃的值；
（2）证明：对于任意的n∈N^*，a_n为奇数；
（3）对于任意的n∈N^*，a_n²-2b_n²是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接展开（3+2$\sqrt{2}$）³求得a₃，b₃的值；
（2）把（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ转化为$（\sqrt{2}+1）^{2n}$，展开二项式定理，可得${a}_{n}={C}_{2n}^{0}•（\sqrt{2}）^{2n}+{C}_{2n}^{2}•（\sqrt{2}）^{2n-2}$$+…+{C}_{2n}^{2n-2}•（\sqrt{2}）^{2}+1$=2[${C}_{2n}^{0}•（\sqrt{2}）^{2n-2}+{C}_{2n}^{2}•（\sqrt{2}）^{2n-4}$$+…+{C}_{2n}^{2n-2}$]+1为奇数；
（3）由（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+$\sqrt{2}$b_n（n∈N^*，a_n∈Z，b_n∈Z），得（3-2$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-$\sqrt{2}$b_n（n∈N^*，a_n∈Z，b_n∈Z），两式相乘得答案．

解答 （1）解：∵（3+2$\sqrt{2}$）³=${C}_{3}^{0}•{3}^{3}+{C}_{3}^{1}•{3}^{2}•2\sqrt{2}+{C}_{3}^{2}•3•（2\sqrt{2}）^{2}+$${C}_{3}^{3}•（2\sqrt{2}）^{3}$
=27+$54\sqrt{2}$+72+$16\sqrt{2}$=$99+70\sqrt{2}$．
∴a₃=99，b₃=70；
（2）证明：∵（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ=$（\sqrt{2}+1）^{2n}$=${C}_{2n}^{0}•（\sqrt{2}）^{2n}+{C}_{2n}^{1}•（\sqrt{2}）^{2n-1}+{C}_{2n}^{2}（\sqrt{2}）^{2n-2}$$+…+{C}_{2n}^{2n-1}•（\sqrt{2}）+{C}_{2n}^{2n}$，
∴${a}_{n}={C}_{2n}^{0}•（\sqrt{2}）^{2n}+{C}_{2n}^{2}•（\sqrt{2}）^{2n-2}$$+…+{C}_{2n}^{2n-2}•（\sqrt{2}）^{2}+1$
=2[${C}_{2n}^{0}•（\sqrt{2}）^{2n-2}+{C}_{2n}^{2}•（\sqrt{2}）^{2n-4}$$+…+{C}_{2n}^{2n-2}$]+1为奇数；
（3）解：对于任意的n∈N^*，a_n²-2b_n²是否为定值1．
事实上：∵$（3+2\sqrt{2}）^{n}$=${C}_{n}^{0}•{3}^{n}+{C}_{n}^{1}•{3}^{n-1}•（2\sqrt{2}）+{C}_{n}^{2}•{3}^{n-2}•（2\sqrt{2}）^{2}$$+…+{C}_{n}^{n}•（2\sqrt{2}）^{n}$，
$（3-2\sqrt{2}）^{n}$=${C}_{n}^{0}•{3}^{n}-{C}_{n}^{1}•{3}^{n-1}•（2\sqrt{2}）+{C}_{n}^{2}•{3}^{n-2}•（2\sqrt{2}）^{2}$$-…+{C}_{n}^{n}•（-2\sqrt{2}）^{n}$．
∴由（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n+$\sqrt{2}$b_n（n∈N^*，a_n∈Z，b_n∈Z），
得（3-2$\sqrt{2}$）ⁿ=a_n-$\sqrt{2}$b_n（n∈N^*，a_n∈Z，b_n∈Z）．
又∵（3+2$\sqrt{2}$）ⁿ•（3-2$\sqrt{2}$）ⁿ=1，
∴（a_n+$\sqrt{2}$b_n）•（a_n+$\sqrt{2}$b_n）=a_n²-2b_n²=1．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．