Question

1．已知不等式xy≤ax²+2y²，若对任意x∈（1，2），且y∈[2，3]，该不等式恒成立，其实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由已知不等式分离参数a，得到a≥$-2（\frac{y}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{1}{8}$，在坐标平面内画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面区域，求出$\frac{y}{x}$的取值范围，则答案可求．

解答 解：依题意得，当x∈（1，2）时，且y∈[2，3]时，不等式xy≤ax²+2y²，
即$a≥\frac{{xy-2{y^2}}}{x^2}=\frac{y}{x}-2•{（{\frac{y}{x}}）^2}=-2{（{\frac{y}{x}-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{1}{8}$．
在坐标平面内画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜2}\\{2≤y≤3}\end{array}\right.$表示的平面区域，
注意到$\frac{y}{x}$可视为该区域内的点（x，y）与原点连线的斜率，结合图形可知，$\frac{y}{x}$的取值范围是（1，3），
此时$-2{（{\frac{y}{x}-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{1}{8}$＜-1，
因此满足题意的实数a的取值范围是a≥-1．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．