Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知sinA•sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）若b=2，S_△ABC=2$\sqrt{3}$，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和与差公式，二倍角，辅助角可得A的值；
（Ⅱ）根据b=2，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，求c，利用余弦定理可得a．

解答 解：（Ⅰ）由sinA•sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{4}$．
可得：sin²Acos$\frac{π}{3}$+sinAcosAsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3}{4}$．
即$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2A）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A-$\frac{1}{4}$cos2A=$\frac{1}{2}$．
可得：sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1．
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}$＜2A＜$\frac{11π}{6}$，
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由b=2，A=$\frac{π}{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
可得：c=4．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$，
即8=4+16-a²．
∴a=$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的余弦定理和面积公式及内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．