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已知函数.
(1)当时,求的最小值;
(2)若,求a的取值范围.
(1)0;(2)(-∞,0).

试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最小值;第二问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“单调递增,单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可.
试题解析:(1)当a=1时,f(x)=x2-lnxx
x∈(0,1)时,f¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f¢(x)>0.
所以f(x)的最小值为f(1)=0.          5分
(2)f(x)>x,即f(x)-xx2-lnx-(a+1)x>0.
由于x>0,所以f(x)>x等价于.      7分
,则
x∈(0,1)时,g¢(x)<0;当x∈(1,+∞)时,g¢(x)>0.
g(x)有最小值g(1)=1.
a+1<1,a的取值范围是(-∞,0).       12分
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