试题分析:本题主要考查导数的计算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对
求导,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最小值;第二问,先将已知不等式进行转化,将所求的参数分离出来,构造新的函数,利用“
单调递增,
单调递减”判断函数的单调性,确定函数最值的位置,并求出函数的最值,代入到所转化的式子中即可.
试题解析:(1)当
a=1时,
f(
x)=
x2-ln
x-
x,
.
当
x∈(0,1)时,
f¢(
x)<0;当
x∈(1,+∞)时,
f¢(
x)>0.
所以
f(
x)的最小值为
f(1)=0. 5分
(2)
f(
x)>
x,即
f(
x)-
x=
x2-ln
x-(
a+1)
x>0.
由于
x>0,所以
f(
x)>
x等价于
. 7分
令
,则
.
当
x∈(0,1)时,
g¢(
x)<0;当
x∈(1,+∞)时,
g¢(
x)>0.
g(
x)有最小值
g(1)=1.
故
a+1<1,
a的取值范围是(-∞,0). 12分