Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）求g（4）的值；
（2）求满足条g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立及g（2）=1，考虑利用赋值法，取x=y=2可求g（4）；  
（2）若g（x）＞g（x+1）+2，结合（1）及已知可以化简为g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）为偶函数，且在（-∞，0）为单调递减函数，可得g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．从而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范围

解答：解：（1）∵g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
令x=y=2时有g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2
（2）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
又∵g（x）为偶函数，且g（x）在（-∞，0）为单调递减函数，
∴g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0
两边同时平方化简可得，15x²+32x+16＜0
解二次不等式可得，-

4

3

＜x＜-

4

5

，且x≠-1
综上x的取值范围为（-

4

3

，-1）∪（-1，-

4

5

）

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，还考查了偶函数的性质：对称区间上的单调性相反的性质的应用，解决本题的关键是由偶函数y=g（x）在（0，+∞）单调递增，g（a）＞g（b）可|a|＞|b|，考生容易漏洞由偶函数y=g（x）在（-∞，0）单调递减，从而误写为a＞b．