Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+n

2x+1+m

是奇函数．
（1）求m、n的值并指出函数y=f（x）在其定义域上的单调性（不要求证明）；
（2）解不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可得n的值，利用f（1）=-f（-1），可得m的值，从而可得函数的解析式，进而可得函数的单调性；
（2）利用函数的单调性与奇偶性，将不等式转化为具体不等式，从而可得不等式的解集．

解答：解：（1）f（0）=0得f(0)=

-20+n

21+m

，所以n=1，所以f(x)=

-2x+1

2x+1+m

，
由f（1）=-f（-1）得

-21+n

22+m

=-

-2-1+n

20+m

，∴m=2------------------（4分）
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

由上式知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数---------------------------------（6分）
（2）又因f（x）是奇函数，从而不等式f（x+2）+f（2x-1）＜0等价于f（x+2）＜-f（2x-1）=f（1-2x），
因为f（x）是减函数，所以x+2＞1-2x，即x＞-

1

3

，
所以原不等式的解集是{x|x＞-

1

3

}．----（12分）

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查解不等式，确定函数的解析式与单调性是解题的关键．