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【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,短轴两个端点为 ,且四边形 是边长为2的正方形.

(1)求椭圆的方程;
(2)若 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 满足 ,连接 ,交椭圆于点 .证明: 为定值.
(3)在(2)的条件下,试问 轴上是否存异于点 的定点 ,使得以 为直径的圆恒过直线 的交点,若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解: ,∴ 椭圆方程为:


(2)解:∵ ,∴设 ,则直线 的方程为:

解设: (舍去),

,∴ ,从而


(3)解:设 ,若以 为直径的圆过 的交点即直线

直线 的斜率 ,直线 的斜率

所以 ,即

,即


【解析】(1)根据题意结合椭圆中a2=b2+c2的关系分别求出a、b的值进而求出椭圆的方程。(2)由已知利用点斜式设出直线MC的方程,联立椭圆和直线的方程消去y得到的关于x的方程,解出点P和点M的坐标由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值为4。(3)根据题意设出点Q的坐标,利用直径所对的圆心角为直角得出垂直的关系,再转化为向量的数量积等于零,即可解得Q点的坐标。

【考点精析】掌握椭圆的概念是解答本题的根本,需要知道平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.

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【题目】已知二次函数的最小值为3,且.

求函数的解析式;

(2)若偶函数(其中),那么, 在区间上是否存在零点?请说明理由.

【答案】(1)(2)存在零点

【解析】试题分析:(1)待定系数法,己知函数类型为二次函数,又知f(-1)=f(3),所以对称轴是x=1,且函数最小值f(1)=3,所设函数,且,代入f(-1)=11,可解a。

2由题意可得,代入,由和根的存在性定理, 在区间(12)上存在零点。

试题解析:1)因为是二次函数,且

所以二次函数图像的对称轴为

的最小值为3,所以可设,且

,得

所以

2由(1)可得

因为

所以在区间(12)上存在零点.

点睛

(1)对于求己知类型函数的的解析式,常用待定系数法,由于二次函数的表达式形式比较多,有一般式,两点式,顶点式,由本题所给条件知道对称轴与顶点坐标,所以设顶点式。

(2)对于判定函数在否存在零点问题,一般解决此类问题的三步曲是:①先通过观察函数图象再估算出根所在的区间;②根据方程根的存在性定理证明根是存在的;③最后根据函数的性质证明根是唯一的.本题给了区间,可直接用根的存在性定理。

型】解答
束】
20

【题目】《中华人民共和国个人所得税》规定,公民月工资、薪金所得不超过3500元的部分不纳税,超过3500元的部分为全月税所得额,此项税款按下表分段累计计算:

全月应纳税所得额

税率

不超过1500元的部分

超过1500元至4500元的部分

超过4500元至9000元的部分

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t/h

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y/m

10

13

10

7

10

13

10

7

10

经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数的图象.一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).

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