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设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)﹣x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”
(I)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意
[m,n]D,都存在x0∈(m,n),使得等式f(n)﹣f(m)=(n﹣m)f'(x0)成立.
试用这一性质证明:方程f(x)﹣x=0只有一个实数根;
(III)设x1是方程f(x)﹣x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2,x3,当|x2﹣x1|<1,且|x3﹣x1|<1时,有|f(x3)﹣f(x2)|<2.

解:(I)因为
又因为当x=0时,f(0)=0,
所以方程f(x)﹣x=0有实数根0.
所以函数是的集合M中的元素.
(II)假设方程f(x)﹣x=0存在两个实数根α,β(α≠β),
则f(α)﹣α=0,f(β)﹣β=0
不妨设α<β,
根据题意存在数c(α,β)使得等式f(β)﹣f(α)=(β﹣α)f'(c)成立.
因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β,
所以f'(c)=1,与已知0<f'(x)<1矛盾,
所以方程f(x)﹣x=0只有一个实数根;
(III)不妨设x2<x3
因为f'(x)>0,所以f(x)为增函数,
所以f(x2)<f(x3),
又因为f'(x)﹣1<0,所以函数f(x)﹣x为减函数,
所以f(x2)﹣x2>f(x3)﹣x3
所以0<f(x3)﹣f(x2)<x3﹣x2,即|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|,
所以|f(x3)﹣f(x2)|<|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣(x2﹣x1)|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|<2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1”.
(Ⅰ)判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]⊆D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,试用这一性质证明:方程f(x)-x=0只有一个实数根;
(Ⅲ)设x1是方程f(x)-x=0的实数根,求证:对于f(x)定义域中任意的x2、x3,当|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1时,|f(x3)-f(x2)|<2.

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设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f(x)满足
0<f(x)<1”
(I)证明:函数f(x)=
3x
4
+
x3
3
(0≤x<
1
2
)是集合M中的元素;
(II)证明:函数f(x)=
3x
4
+
x3
3
(0≤x
1
2
)具有下面的性质:对于任意[m,n]⊆[0,
1
2
),都存在xo∈(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(xo)成立.
(III)若集合M中的元素f(x)具有下面的性质:若f(x)的定义域为D,则对于任意[m,n]⊆D,都存在xo∈(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(xo)成立.试用这一性质证明:对集合M中的任一元素f(x),方程f(x)-x=0只有一个实数根.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:“①方程f(x)-x=0有实数根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.”
(Ⅰ)判断函数f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-x,判断g(x)的单调性(f(x)∈M);
(Ⅲ)设x1<x2,证明:0<f(x2)-f(x1)<x2-x1

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设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:(1)方程f(x)-x=0有实数解;(2)函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.给出如下函数:
f(x)=
x
2
+
sinx
4

②f(x)=x+tanx,x∈(-
π
2
π
2
)

③f(x)=log3x+1,x∈[1,+∞).
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
.(只需填写函数的序号)

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(2012•江西模拟)设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合:①方程f(x)-x=0有实根;②函数f(x)的导数f′(x)满足0<f′(x)<1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素,证明:方程f(x)-x=0只有一个实根;
(2)判断函数g(x)=
x
2
-
lnx
2
+3(x>1)
是否是集合M中的元素,并说明理由;
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素,对于定义域中任意α,β,证明|f(α)-f(β)|≤|α-β|

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